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element de lame Ceci représente au choix :
  • une section d'hélice avançant à la vitesse axiale u et de vitesse tangentielle w (fonctionnement moteur)
  • la voile d'un navire remontant le vent avec la vitesse relative w et la vitesse de travers u (fonctionnement récepteur de puissance)


    • Le problème d'optimisation est différent dans les 2 cas

  • Pour la section d'hélice, on cherche à minimiser la puissance fournie PF=Fw.w pour une puissance propulsive PP=Fu.u donnée.Sur toute la longueur de la pale, u est constant, tandis que w=omega*r, où omega est la vitesse de rotation (radians/seconde), et r la distance locale à l'axe de rotation ( r varie de 0 à R ).

    • dFu=rho/2.c.dr.v(cz.w-cx.u)=traction locale (en r, sur la longueur dr)
    dFw=rho/2.c.dr.v(cz.u+cx.w)="traînée" locale (en r, sur la longueur dr)
    PP=somme(u.dFu), où somme représente l'intégrale pour r variant de 0 à R.
    PF=-somme(w.dFw).
    Comme v=sqrt(u²+w²)=sqrt(u²+omega².r²), PP=rho/2.somme(u.c.dr.sqrt(u²+omega².r²).(cz.omega.r-cx.u))
     

    On a vu sur la page de la caudale que

  • rdt=(f-1/b)/(f+b)=1-(b+1/b)/(f+b), où b=w/u, et rdt=PP/PF.
  • Quand b=[1+sqrt(1+f²)]/f, rdt est maximal, à f donnée.

    • b, proportionnel à r, ne peut donc être optimal partout. 

    Pour le voilier, on cherche à maximiser la composante de la force dans la direction souhaitée, faisant un angle t avec w, la dérive ou la quille du dit voilier permettant d'extraire la composante souhaitée Ft de la résultante F....
    ejecteur Ceci représente au choix :
  • un éjecteur dans un tube ou dans un système d'éjecteurs
  • une sortie de réacteur dans l'air ou dans le vide (non étudiée ici)


    • Les correspondances entre indices et états sont:

  • 1 pour l'entrée haute pression
  • 2 pour l'entrée basse pression
  • 3 pour la sortie haute pression
  • 4 pour la sortie basse pression


    • On considère que les 2 fluides échangent travail et chaleur mais ne se mélangent pas, ce qui est à peu près le cas dans les éjecteurs réels. On verra dans l'analyse que l'évolution ( 1+2 -> 3+4 ) n'est pas complètement déterminée en connaissant les conditions d'arrêt à l'entrée, donc qu'elle est influencée par la présence d'un déflecteur (à optimiser) en sortie de buse.

    Les éjecteurs ont fait leurs preuves en tant que pompes à vide, par leur large gamme de pressions de fonctionnement, leur simplicité et leur fiabilité. Quelques fabricants: smc-france, kinetics-therm, etc...

    Cette feuille de calcul effectue les bilans si vous remplissez les cases rouges. Pour les explications voir plus bas.
    état M    kg/s S    cm² Pi   bar Ti     K P   bar T     K Vx   m/s rho,kg/m³ E   kW F     N K  J/K/kg deltaS (cm²)

    deltaF

    deltaE

    1
    2 puissance
    kW

    déflexion
    %
    3
    4
    detail d'ejecteur Voici le détail de la sortie d'éjecteur sur lequel nous allons établir le modèle. On l'a coupé aux axes de symétrie.
    On fait le calcul en considérant que les 2 fluides HP et BP sont des gaz parfaits, à savoir de l'air. On note S les sections de passage, P les pressions statiques, T les températures absolues, M les débits massiques, rho les masses volumiques, F les forces, E les puissances, V=(Vx,Vy) les vitesses locales, a les vitesses du son, K les entropies (K=cp*ln(T)-r*ln(P)), 0x l'axe longitudinal, 0y l'axe transversal. Un indice i correspond à une condition d'impact (d'arrêt). Les conditions en 2 sont supposées connues (c'est le fluide à compresser). Voilà 11*3=33 paramètres.
    On voit que S1+S2=S3+S4 =Stotale ainsi que Vy2=Vy3=Vy4=0, Vy1 non constant sur toute la largeur, est à déterminer.
    Par conservation de la masse, M1=M3 et M2=M4. On pose M=M1+M2.
    Par conservation de l'impulsion (quantité de mouvement), F1+F2=F3+F4.
    Par conservation de l'énergie, E1+E2=E3+E4.
    Pour un éjecteur idéal (isentropique) K1=K3 et K2=K4.
    En sortie on a équilibre des pressions: P3=P4 et des vitesses: Vx3=Vx4
    Nous voilà donc avec 11 équations.

    D'autre part quelquesoit j dans {1..4}

  • Mj=rhoj*Sj*Vxj
  • Fj=Pj*Sj+Mj*Vxj
  • Ej=Mj*(cp*Tj+Vj²/2) par définition de Ti, cp=1005 J/kg.K
  • Pj=rhoj*r*Tj, où r=287 J/kg.K (équation d'état du gaz parfait)
  • Kj=cp*ln(Tj)-r*ln(Pj) (entropie gaz parfait, à une constante additive près), 
  • aj²=Vj²=1.405*r*Tj=403*Tj (écoulements soniques)

    • soit 7*3=21 équations de plus, soit 32 en tout, pour 33 inconnues, et l'écoulement est déterminé si on choisit P4. Fixons donc la pression de sortie P4. On appelle W la puissance mécanique transmise (du fluide1 au fluide2) et Q la perte exergétique (Q=0 à l'idéal et pour une 1ère analyse). Par commodité appelons D (pour déflexion) le rapport (Vy1/Vx1)
    Connaissant (M,E,F,V)j on peut retrouver (rho,T,P,S)j avec les équations ci-dessus. On s'attachera donc à identifier (M,E,F,Vx,Vy)j.
    Qualitativement, le fluide 1 exerce sur le fluide 2, le long de la ligne en pointillé,
  • une compression qui ne se propage pas vers l'amont si l'écoulement du fluide 2 est sonique,
  • ainsi qu'un effet d'entraînement visqueux, nécessaire à l'augmentation de la pression d'impact du fluide 2.
  • BdSV: 1+ 0.2025*mach²=(Ti/T)=(Pi/P)0.288 =(rhoi/rho)0.405=(ai/a)², avec mach=u/a=1

    • (BdSV=Barré de Saint-Venant : gaz parfait (air) en évolution isentropique sans apport de travail, dans un écoulement stationnaire monodimensionnel)
    Les conditions d'impact en 2 sont données, ce sont celles du réservoir amont. Par contre les conditions en 1 sont à optimiser, car le fluide 1 est un moyen de compression. On considère que S2 est donné, S1 à adapter. Comme le fluide 2 est destiné à être compressé, toute son évolution doit rester sonique ou supersonique, sans quoi une onde de pression va se propager vers l'amont, réduisant le débit M2.
    Supersonique n'est pas très intéressant, car
  • le débit maximum dans une section donnée à conditions d'impact données est obtenu à la vitesse du son. (on dit encore conditions d'impact, indice i, par abus de langage, mais en fait il s'agit des conditions génératrices, différentes en supersonique à cause de la présence d'une onde de choc avant l'arrêt)
  • ça va souvent de pair avec une onde de choc en aval, créatrice d'entropie, qui va dégrader le rendement exergétique. La seule exception dans ce modèle est une sortie de réacteur dans le vide, mais on est maintenant dans le cas de l'éjecteur, car on a vu que les 2 modèles sont difficilement assimilables à cause des conditions aux limites (S2=infini pour un réacteur, ça change tout).

    • On choisit donc l'écoulement sonique (avec apport de travail) dans toute l'évolution 2->4. Voyons donc les équations caractéristiques de ce type d'écoulement. BdSV ne marche plus le long de la ligne de courant, mais seulement en chaque point, entre conditions d'impact et conditions statiques.
  • écoulement sonique: si u est la vitesse locale, u²=403*T, Ti=T+u²/(2*cp)=1.2*T, P=rho*287*T=0.712*rho*u², M=S*rho*u (M constant), Pi=1.9*P, rhoi=1.577*rho, d(u²/2)=201.5*dT=201.5*d(P/rho/287)=0.702*(dP/rho - P*d(rho)/rho²)=0.702*(dP/rho - r*T*d(rho)/rho)
  • apport de travail dW: dW=M*(dP/rho + d(u²/2))=S*u*(dP + rho*d(u²/2))=travail statique + travail cinétique (en Watts)

    • dW=M*dPi/rhoi est une formule équivalente.
  • apport de chaleur dQ: dQ=M*T*ds, où s est l'entropie massique du gaz parfait: s=cp*ln(T)-sum(dP/(rho*T))=cp*ln(T)-r*ln(P)

    • donc dQ=M*(cp*dT-dP/rho)
    On vérifie que dE=dW+dQ: dE=M*cp*dTi=M*(cp*dT + d(u²/2))=M*(cp*dT-dP/rho+dP/rho+d(u²/2))=dQ+dW. L'égalité est respectée, OK.
    Donc si dW>0 et dQ=0, cp*dT=dP/rho, dW=M*(dP/rho + d(u²/2))=M*(cp*dT + 201.5*dT)=1206.5*M*dT=dW
    La quantité de travail fourni qui passe sous forme cinétique est dWcin=M*d(u²/2)=201.5*M*dT, soit 17%, le reste (83%) passant sous forme de compression.
    En passant si dW=0 et dQ>0 (ce n' est pas le cas ici), -dP/rho=d(u²/2), dQ=M*(cp*dT+d(u²/2))=M*(cp*dT+201.5*dT)=1206.5*M*dT. L'augmentation d'énergie cinétique M*d(u²/2)=201.5*M*dT est la même (17%) qu'en apportant du travail, mais elle est cette fois-ci fournie par la détente de l'air.
    On a donc dW>0, dQ=0. On considère que l'écoulement du fluide 2 est isentropique (pas d'apport de chaleur, et on néglige pour l'instant la création d'entropie visqueuse). On en tire dP/P=3.5*dT/T, d(rho)/rho=2.5*dT/T, du/u=0.5*dT/T, dS/S=-3*dT/T. 

    ligne de contact entre flux primaire et secondaire Pour aller plus loin, nous avons besoin de comprendre ce qui se passe à la ligne de contact. Sur la figure ci-contre, on a créé 2 axes w et z alignés sur les vitesses et la surface de contact. P est la pression locale, tau=-µ*(du/dz) la contrainte visqueuse (µ=4.697e-8*(T+76) Pa.s étant la viscosité de l'air). Le fluide 1 exerce donc sur le fluide 2 une force B*dw, avec dw²=dx²+dy², B=(tau,P) dans le repère (w,z), B=(Bx,By) dans le repère (x,y), dw=(dx,dy)(x,y), dz=(-dy,dx)(x,y), B*dw=(tau*dw,P*dw)(w,z)=(tau*dx-P*dy,tau*dy+P*dx)(x,y)
    Dans la section S considérée, Fx=P*S+M*u, d(Fx)/dx=S*dP/dx+P*dS/dx+M*du/dx, soit en longeant x:
    d(Fx)=S*dP+P*dS+M*du=Bx*dw=tau*dx-P*dy, dy=-dS (en bidimensionnel), donc tau*dx=S*dP+M*du=S*(dP+rho*u*du)=S*(dP+(P/287/T)*d(u²/2))=S*P*(dP/P+0.702*dT/T), puis tau=1.2*S*dP/dx.
    D'autre part dW=(Bx*dw)*u+(By*dw)*u*dy/dx, dW=(tau*dx-P*dy)*u+(tau*dy+P*dx)*u*dy/dx, dW=(tau*dx+P*dS)*u+(-tau*dS+P*dx)*u*dy/dx, dW=(tau*dx+P*dS)*u+(tau*dS-P*dx)*u*dS/dx, dW=u*tau*(dx+dS*(dS/dx)). Pour simplifier cette équation, posons S'=dS/dx. On obtient:
    dW/dx=u*tau*(1+S'²)=u*1.2*S*(dP/dx)*(1+S'²)
    Maintenant il nous faut une relation unissant S'=dS/dx et dP/dx: dS/S=-3*dT/T et dP/P=3.5*dT/T, donc dS/S=-0.857*dP/P, puis P*S'=-.857*S*(dP/dx), dP/dx=-1.167*P*S'/S, dW/dx=-1.4*u*P*S'*(1+S'²). Or u*P=u*rho*287*T=M*287*T/S, donc dW/dx=-402*(M*T/S)*S'*(1+S'²).
    Comme dW=M*1206.5*dT et dS/S=-3*dT/T, dW/dx=-402*M*T*S'/S, ce qui donne (1+S'²)=1, soit S'=0, dW/dx=0, incohérence dûe à l'approximation de u à sa composante longitudinale dans le paragraphe précédent, approximation difficile à remettre en cause. Revenons plutôt à la formulation de Fx (impulsion locale): Fx=P*S+M*u=287*rho*T*S+M*u=M*(287*T/u+u)=1.712*M*u, d(Fx)=tau*dx+P*dS=1.712*M*du, d(Fx)/dx=tau+P*S'=1.712*M*du=1.712*M*(201.5*dT/u)/dx=0.286*(dW/dx)/u=0.286*tau*(1+S'²), donc 1+P*S'/tau=0.286*(1+S'²), soit 0.286*S'²-(P/tau)*S'-0.714=0, 0.5*S'²-1.748*(P/tau)*S'-1.248=0, binôme dont les racines sont S'=3.056*(P²/tau²) +- racine(3.056*(P²/tau²)+2.496). Une seule de ces racines est négative, S'=1.748*(P/tau)-racine(3.056*(P²/tau²)+2.496), la racine positive correspondant au cas où tau<0 (frottement). Si P/tau=10 par exemple, S'=-7.3% (voir la figure ci-dessous).
    La relation tau=1.2*S*dP/dx devrait nous donner une 2ème relation entre tau, P et S' .
    tau=1.2*d(S*P)/dx-1.2*P*dS/dx=0.6*(dT/dx)*P*S/T-1.2*P*S' =0.6*((dW/dx)/1206.5/M)*287*rho*S-1.2*P*S',
    tau=0.1427*(dW/dx)/u-1.2*P*S'=0.1427*tau*(1+S'²)-1.2*P*S', 1.2*P*S'=tau*(0.1427*S'²-0.8573), 0.1427*S'²-1.2*P*S'/tau-0.8573=0, 0.5*S'²-4.22*P*S'/tau-3=0,

    ...en attendant la suite...
    écoulement laminaire en tube carré Voici le modèle d'écoulement qui a servi de base au calcul de l'échangeur thermique compact. Les courbes isothermes et isotaches (=isovitesses) sont superposées, car les lois de transfert thermique et cinétique sont similaires, linéaires, et les conditions aux limites ( pourtour à valeur constante et gradient nul au centre ) identiques, à une loi affine près. On est en régime stationnaire et laminaire, donc les effets d'inertie n'interviennent pas. On sait que dans ces conditions, on peut utiliser le concept de transformation conforme (qui transforme un réseau à mailles carrées en réseau à mailles carrées) du disque en carré. Les isothermes du cercle sont alors transformées en isothermes du carré. La formulation parabolique est valable si l'on prend y sur l'axe horizontal ou vertical de la figure du haut ( x est l'axe de l'écoulement ). La notion de diamètre hydraulique, qui donne l'effet d'échelle, est approximative, et exacte uniquement dans le cas du tube rond. Il y a de plus ici un deuxième problème de conduction de la chaleur dans la paroi, qu'on résoud par l'addition des résistances thermiques du fluide et de la paroi. Tous comptes faits, on est à 10-15% près sur les proportions (flux thermique)/(écart de température fluide-axe.paroi) et (perte de charge (=de pression) métrique)/(débit), dans le même sens, ce qui est suffisant en l'occurence pour préferer s'occuper d'autre chose.
    diamètre hydraulique=diamètre thermique=4*section/périmètre
    On en tire les 2 formules de travail:
    • flux de chaleur QT=8p*l*DT (en W/m), où l=conductivité fluide (W/m/K), DT=Tp-T (en K), T=température moyenne fluide, Tp=température de surface de la paroi. Le flux thermique est donc indépendant du diamètre.
    • perte de charge linéique PM=32uh/f² (en Pa/m), où u=vitesse moyenne de l'écoulement (en m/s), h=viscosité dynamique (en Pa.s), f=diamètre hydraulique.
    dictionnaire en ligne des mots de la combustion
    formules élémentaires de MdF ( par rapport à cette page, des formules à l'échelle de la particule fluide )
    Model Rocket Drag Analysis on apprend beaucoup de choses en peu de temps. Quoique le centre d'intérêt soit différent, bien dans l'esprit des écoulements standards
    question?
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