applications:
la détente isentropique est plus efficace en termes de refroidissement
que la détente de Joule-Thomson (isenthalpique). Ceci est dû
au fait que l'on récupère le travail de détente, qui
autrement est converti en chaleur, et réchauffe les gaz détendus.
Notons que comme le cycle s'effectue sur un seul tour ( contrairement
à un moteur 4 temps ), le vilebrequin lui-même peut servir
d'arbre à cames.
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détente isenthalpique
Cette abaque permet de calculer l'efficacité de la détente isenthalpique en termes de refroidissement
en fonction des pressions et températures réduites, c'est
à dire divisées par la température ou la pression
critique, caractéristiques du gaz considéré. Pour
l'air, par exemple, Tc=132K et Pc=36.9 bar. Cette représentation
est approximative: en fait selon les corps Zc varie entre 0.23 et 0.32,
mais bon ... tant pis. La variable en ordonnée Z est celle de l'expression
P*V=Z*R*T, où P=pression (Pa), V=volume molaire (m3/mol), R=8.314 J/mol.K,
T=température absolue (K). Z est adimensionnel. Un gaz est dit parfait
quand Z=1. On est dans ce cas si Tr > 2 et Pr < 9 (air à température
ambiante par exemple, avec Pr=0.03 et Tr=2.2). Un gaz parfait ne se refroidit
pas en détente isenthalpique (sans récupération de
travail). L'air ne se refroidit quasiment pas (0.25 K/bar à 200bar
et température 300K). L'hydrogène se réchauffe dans
la détente à 300K, quelque soit la pression d'origine. On
est obligé de le refroidir préalablement au dessous de la
température d'inversion (Ti~6.75*Tc, soit 225K=-50°C pour l'hydrogène),
pour que la détente adiabatique s'accompagne de refroidissement.
Ceci n'est pas très satisfaisant.
Analysons la détente isenthalpique (sans échange de chaleur,
ni de travail). On a P.V=Z.R.T, donc dV/V+dP/P=dZ/Z+dT/T. D'autre
part, dH=0=d(U+P.V)=dU+V.dP+P.dV, où U=énergie interne: dU=(dQ)v-P.dV,
avec -P.dV=travail fourni au système et dQ=0=quantité de
chaleur fournie (à volume constant) au système, le système
étant en l'occurrence chaque mole de gaz. On a donc dH=(dQ)+V.dP=T.dS+V.dP=0,
puis dH/PV=dS/ZR+dP/P=0.
Dans le cas le plus favorable (Tr=1.0), on a Z fonction puissance de Pr, Z(Pr=1)=0.18, Z(Pr=8.5)=1.05,
donc d(ln(Z))/d(ln(Pr))=(ln(0.18)-ln(1.05))/(ln(1)-ln(8.5))=0.824=P.dZ/(Z.dP).
On en tire Z(P)=0.18*(P/Pc)0.824.
On aimerait remplacer dS par dT dans les 2 équations en gras pour
obtenir la variation de T consécutive à une variation de P, en détente adiabatique isenthalpique.
dP/P=1.21*dZ/Z, puis (dS/R+1.21*dZ)/Z=0, dS=-1.21*R*dZ.
V=P*V/P=Z*R*T/P=0.18*(P/Pc)0.824*R*T/P=0.18*R*T*Pc-0.824*P-0.176
Pour évaluer dS, on peut utiliser la relation de Maxwell:
(dS/dP)T =-(dV/dT)P=-0.18*R*Pc-0.824*P-0.176
On cherche (dT/dP)H.
Comme il existe une fonction f telle que f(T,P,H)=0, on a df=(df/dT)dT+(df/dP)dP+(df/dH)dH=0,
donc (dT/dP)H=-(df/dP)/(df/dT), (dH/dT)P=-(df/dT)/(df/dH), (dP/dH)T=-(df/dH)/(df/dP) d'où il suit que
(dT/dP)H.(dH/dT)P.(dP/dH)T=-1. C'est la relation cyclique.
Il suit que (dT/dP)H=-(dT/dH)P .(dH/dP)T=-(dH/dP)T/Cp
Comme dH=T.dS+V.dP, (dH/dP)T=T.(dS/dP)T+V=V-T.(dV/dT)P en utilisant la relation de Maxwell,
puis (dT/dP)H=(T.(dV/dT)P-V)/Cp.
Malheureusement en utilisant V de l'expression donnée 6 à 10 lignes plus haut, on trouve 0 pour cette dernière expression,
donc pas de refroidissement lors de la détente isenthalpique, et l'équation retenue pour Z ne permet pas de calculer la détente de Joule-Thomson,
il y faudrait une composante en T. Corrigeons donc la formule Z(P)=0.18*(P/Pc)0.824. Pour Tr=1.2, on aurait plûtot un exposant pour P
multiplié par (0.95/1.35)=0.704, soit en P0.58 aux alentours du point de croisement, qu'on peut généraliser en P0.824/Tr1.925:
alors, comme Z(P) passe par (8.5,1.05), Z=1.05*(Pr/8.5)0.824/Tr1.925=1.05*exp(0.824*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925),
relation valable quand Pr > 1.
V=P*V/P=Z*R*T/P=1.05*exp(0.824*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)*R*T/P
(dV/dT)P=d(1.05*R*T*exp(0.824*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)/P)/dT
=(1.05*R*exp(0.824*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)/P)*(1-T*1.586*ln(Pr/8.5)*Tr-2.925/Tc)
(dV/dT)P=(1.05*R*exp(0.824*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)/P)*(1-1.586*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925). Alors
(dT/dP)H=(T.(dV/dT)P-V)/Cp=(1.05*R*T*exp(1.586*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)/P)*(1-1.586*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925-1)/Cp.
(dT/dP)H=(1.05*R*T*exp(0.824*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)/P)*(-1.586*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)/Cp
(dT/dP)H=-1.6653*R*T*exp(0.824*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925/P/Cp
où Cp=1005 J/kgK * 29e-3 kg/mole=29.14 J/mol/K pour l'air.
La détente isenthalpique est la plus favorable quand (dT/dP)H est maximum. Notons que cette approximation ne fait pas apparaître de changement de signe à la température d'inversion Tr=6.75
Au point critique on a Pr=1, Tr=1, ln(Pr/8.5)*Tr-1.925=-2.14, donc (dT/dP)H=5.08*Tc/Pc/Cp, soit 6.24e-6 K/Pa ou 0.624 K/bar pour l'air.
Pour l'air encore à 300K et 200bar, on a Tr=2.27 et Pr=5.42,
donc (dT/dP)H=(-1.6653)*8.314*300*0.926*(-9.29e-2)/200e5/29.14=6.13e-7 K/Pa=6.13e-2 K/bar.
Pour l'air à 300K et 100bar, on a Tr=2.27 et Pr=2.71,
donc (dT/dP)H=(-1.6653)*8.314*300*0.823*(-0.236)/100e5/29.14=2.77e-6 K/Pa=0.277 K/bar.
C'est à peu près la valeur énoncée plus haut, 0.25 K/bar.
Pour l'air à 300K et 1bar, on a Tr=2.27 et Pr=2.71e-2, on est en dehors du cadre de validité de la loi énoncée plus haut.
Analysons maintenant la
détente isentropique
A fins de comparaison, on conserve l'équation d'état, bien que la détente isentropique refroidisse aussi le gaz parfait.
L'entropie étant notée S comme auparavant, on a dS=0, puis dH=T.dS+V.dP=V.dP, (dT/dP)S=-(dT/dS)P .(dS/dP)T
=-T.(dT/(T.dS))P .(dS/dP)T=-T.(dS/dP)T/Cp=T.(dV/dT)P/Cp avec la relation de Maxwell.
Donc, comme (dV/dT)P=(1.05*R*exp(0.824*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)/P)*(1-1.586*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925),
(dT/dP)S=1.05*R*T*exp(0.824*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)*(1-1.586*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)/P/Cp
et le rapport coefficient isentropique/coefficient isenthalpique est
(dT/dP)S/(dT/dP)H=(1-1.586*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)/(-1.586*ln(Pr/8.5)*Tr-1.925)
= 1 + 0.63*Tr1.925/ln(8.5/Pr). On a donc d'autant plus intéret à préferer la détente isentropique (toujours plus favorable)
que Tr est grand et Pr proche de 8.5 .
Pour l'air critique (132K et 36.9bar), on a (dT/dP)S=0.624*(1 + 0.63*1/2.14)=0.808 K/bar: la détente isentropique est 30% plus efficace.
Pour l'air à 300K et 200bar, on a (dT/dP)S=6.13e-2*(1 + 0.63*4.85/0.45)=0.477 K/bar: la détente isentropique est 8 fois plus efficace.
Pour l'air à 300K et 100bar, on a (dT/dP)S=0.277*(1 + 0.63*4.85/1.14)=1.02 K/bar: la détente isentropique est 3.7 fois plus efficace.
La liquéfaction de l'air par détente isenthalpique (dite Joule-Thomson, procédé de liquéfaction de Linde) consomme environ 1 KWh/m3.
C'est peu lorsque cette liquéfaction est le préalable d'une séparation de l'oxygène, ce qui donne 5KWh/m3, 30 centimes d'euro,
somme négligeable devant les coûts de conditionnement en bouteilles haute pression (200bar), de transport et de stockage, et le prix de
vente (jusqu'à plusieurs centaines d'euro le m3, à destination des hôpitaux, des bouteilles de plongée, des chalumeaux, des fusées).
Par contre lorsqu'il s'agit de réaliser une combustion sous oxygène pur d'un combustible type fuel par exemple, de PCI (pouvoir calorifique
inférieur) ~10KWh/kg, de pouvoir comburivore ~10m3 d'air/kg, la production de 10KWh entraîne la consommation de 10KWh pour la liquéfaction,
donc le bilan thermique devient nul. Conséquence: pas d'application dans le domaine de la production d'énergie. Passons.
Pour la liquéfaction de l'hydrogène, carburant de base dans le domaine spatial et peut être appelé à le devenir dans les domaines aéronautique
et automobile, la détente isentropique permet d'éviter la construction d'un second circuit de prérefroidissement à -80°C, et simplifie donc le système,
toutes considérations énergétiques mises à part. A température ambiante (300K), on considère l'hydrogène comme un gaz parfait de Cp=30 J/mol/K.
La détente isentropique permet d'utiliser directement de l'air dans des systèmes frigorifiques ou des pompes à chaleur, autorisant,
avec l'aide de l'échangeur isentropique, le chauffage à l'exergie:
l'air extrait est d'abord comprimé (isentropiquement) de 20°C jusqu'à 40°C (soit 1.4bar), échange sa chaleur avec l'air neuf, puis est détendu
(isentropiquement) jusqu'à 1bar, avant d'être rejeté, à (Text- 12 à 20°C), où Text est la température extérieure . Compte tenu d'une humidité intérieure de 50%,
le givrage n'intervient pas dans l'échangeur (très sensible au givrage) dès que la température extérieure dépasse -8°C, mais seulement
dans le détendeur. À ce propos le détendeur à piston n'est pas bien adapté, car les soupapes vont givrer très vite, entraînant un problème d'étanchéité.
Un autre défaut du détendeur à piston est que le débit est intermittent, impliquant une capacité, non pour avoir un débit constant dans l'échangeur,
car la masse des parois amortit largement des variations de flux cycliques sur 1/50 de seconde (correspondant à 3000tr/mn),
mais pour garder constante la pression amont, encore que si le détendeur est couplé à un compresseur du même type, ce problème
disparait car on peut synchroniser l'aspiration de l'un avec le refoulement de l'autre.
La détente isentropique présente donc un intéret évident, la question est plutôt de comparer entre eux les différents détendeurs
( à piston, à turbine, à palette, ou autre). J'ai commencé par le système à piston à cause de sa grande souplesse en régime
(de 500tr/min à 5000tr/min), alors que sur une ailette de turbine d'inclinaison fixe les efforts (donc le couple) sont proportionnels
au carré de la vitesse de rotation, elle-même proportionnelle à la vitesse débitante, donc au débit. La puissance fournie est donc proportionnelle
au cube du débit, alors qu'à taux de détente constant, cette puissance devrait être proportionnelle au débit. Une turbine est donc faite pour un débit
fixe, à peu de chose près. Elle n'est pas vraiment réglable en taux de détente non plus.
La question reste ouverte entre différents modes de détente, il faut étudier (et imaginer) les autres possibilités, et le choix dépendra de l'application
considérée.
Quand il s'agit de réaliser la détente d'une masse d'eau et non d'air, le mieux est d'utiliser la turbine Pelton, dont le rendement peut atteindre
90%. Le principe est le suivant: l'énergie de pression P du fluide est d'abord transformée en énergie cinétique par l'intermédiaire
d'une buse de section S qui crache un jet cylindrique à la vitesse u. ce jet arrive sur une cuiller appelée auget
animée de la vitesse tangentielle v=R.w, avec R rayon de la roue, w vitesse de rotation (rad/s). Après rebond, il est animé de
la vitesse résiduelle (2v-u) qu'on cherche à minimiser.
Analysons les débits du jet:
débit-masse: Q=S.rho.u, avec rho masse volumique (kg/m³)
force: F=Q.u-Q(2v-u), F=2Q.(u-v) (en Newtons)
puissance récupérée: Wr=F.v=2Q.v(u-v) (en Watts)
puissance disponible: Wd=Q.u²/2. On en tire
rendement rdt=Wr/Wd=4v(u-v)/u². Il est maximal (100%) ainsi que Wr, quand v=u/2.
Les quelques pertes restantes sont alors dues à l'épaisseur non nulle du jet, au dispositionnement instantanné de l'auget, aux
frottements de l'eau sur l'auget et de l'air sur la roue. Nous n'entrerons pas dans le détail de ces considérations.
Comme P=rho.u²/2=Q²/(2.S².rho) et W=Wr=Wd=Q.u²/2=S.rho.u³/2., on a W=S.rho/2.(2.P/rho)³=P³.4S/rho².
On voit le problème apparaître: pression et débit sont liés. La seule solution pour les rendre indépendants est de faire varier S,
la surface d'éjection de la buse. Faire varier le débit par une vanne de régulation en amont de la buse occasionerait une perte
inutile de pression.
La figure de droite représente le principe inverse, fonctionnement en compresseur centrifuge. En reprenant les mêmes notations,
la pression P à l'extrémité est l'intégrale des forces centrifuges: P=integrale(rho.R.w².dR)=rho.R².w²/2.=rho.v²/2.
Appelons Ps (pression de sortie) la pression régnant aux alentours de la gouttière d'évacuation.
C'est la pression statique en sortie de jet. En appelant u la vitesse d'éjection relative à la buse de bout de branche, on a
P-Ps=rho.u²/2, Ps=rho/2.(v²-u²). Pour éviter des pertes cinétiques dans l'eau expulsée, on souhaiterait que v=u.
Mais alors Ps=0, autrement dit le compresseur ne marche pas. Il faut procéder autrement...
Un petit symbole au format GIF à insérer dans des shémas de principe de systèmes isentropiques, donc à base de composants isentropiques.